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Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Física Matemática

 


Dr. Anatoli Merzon
Doctorado en Ciencias de Físico-Matemáticas,
Instituto de Matemáticas y Mecánica
de la Academia de Ciencias
de la RSS de Azerbaijan, SSSR Rusia), (1981).
anatoli@ifm.umich.mx

Mi área de investigación es Ecuaciones Diferenciales Parciales y Física Matemática. En particular, estoy ocupado por cuestiones de la propagación de ondas. Estos problemas se describen usualmente por medio de la ecuación de onda, que se llama la ecuación de D'Alambert.

Actualmente me dedico a los problemas de difracción de ondas sobre obstáculos canónicos: cuñas, semiplanos, esferas, etc. Me interesa la conexión entre los problemas no estacionarios y estacionarios. En particular, me interesa investigar cuando el Principio de Amplitud Límite se cumple. Esto significa lo siguiente: supongamos que tenemos una perturbación periódica con respecto del tiempo en un medio con una amplitud conocida, en este caso durante algún tiempo, en el medio se establecen vibraciones periódicas con una amplitud (límite) que se describen por medio de la ecuación de Helmholtz. La pregunta es la siguiente: ¿es cierto que esta solución realmente es la amplitud límite de las soluciones de la ecuación de onda cuando el tiempo t tiende al infinito, y en qué sentido matemático? Este problema físico genera muchos problemas interesantes en matemáticas. Los artículos [34]-[39], [41],[42], [48] están dedicados a este problema. Todavía hay muchos problemas abiertos en esta área.

Otra dirección de las investigaciones que está conectada con los problemas mencionados es la construcción de las soluciones explicitas de los problemas de frontera en ángulos planos (convexos y no convexos). Estos problemas aparecen, en particular, en hidrodinámica lineal [14], [15], [17-27], [31]-[33]. Para resolver estos tipos de problemas fue creado el Método de Características Complejas [3], [4], [5], [7], [11], [13], [30]. En esta área también hay problemas abiertos (véase [40], [47]). La tercera dirección de mi actividad es la investigación del sistema de Lamb no lineal. Este sistema describe la interacción de la cuerda infinita y un oscilador no lineal. Nos interesa la teoría de dispersión en este problema. La investigación de este problema esta inspirada por las transiciones de Bohr a los estados cuánticos seguidos de radiación. El sistema de Lamb da un modelo matemático más simple de las transiciones y radiación que permite reducir el problema de dispersión a una ecuación ordinaria. Este sistema representa un sistema no lineal Hamiltoniano que consiste de la ecuación de onda vectorial acoplada con un oscilador no lineal. En particular, en el caso escalar, este sistema describe una cuerda que interactúa con el oscilador. Nuestra meta principal es demostrar completitud asintótica en la dispersión en este problema (see [44],[45], [46]). Notemos, que el Proyecto descrito se realiza en conjunto con Wolfgang Pauli Institute, Faculty of Mathematics de la Universidad de Viena, Austria y Instituto Superior Técnico, Lisboa.




 

    
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